黃赤交角obliquity

在编制新历法期间，郭守敬主持了全国范围的天文观测，他组织进行了大量观测，观测点多达20余个，分布在南北达万里、东西五千里的广大区域中。

郭守敬主要进行了日影、北极出地高度（观察北极星的视线和地平面形成的夹角度数）、春分秋分昼夜时刻的测定。新测二十八宿距度，平均误差还不到5'；

测定了黄赤交角新值，误差仅1'多；取回归年长度为365.2425日，与现今通行的公历值一致。这些观测的结果，都为编制全国适用的历法提供了科学数据。

但番查新元史, 明史, 稱作黃道赤道差. 黃道的數據, 應是從太陽的視運動觀測（日塵）, 再用當時的數學, 如勾股,弧矢,方圓等會圓術（Approximation) 去計算出來,而並非用測量方法.

在現代天文學中,球面三角學可輕易地解決不同座標系的 換算問題。但在數學並不發達的 古代,只好採取比較笨拙的方 式:用赤經圈把赤道圈和黃道圈劃分成若干個弧段,然後相同赤 經的黃、赤弧段對照比量,兩兩 相減,可列出一個差值表,再利 用內插法求出連續差值表。也就 是說,不管是黃道度數化成赤道 度數,還是赤道度數化成黃道度 數,查連續黃赤差值表,或加或 減,即爲所求。（估計此方法用作檢測有黃道赤道的天文儀器）

除非當時已經發現/接受大地是圓的 ( eg 學習自Maragha 天文台), 那就可以推論出南北回歸線（夏至冬至日影長）與黃道赤道的關係

A.用日圭找黃赤交角：

黃道上還有兩個重要的點稱為夏至點和冬至點。地球運行到夏至點的時候，是自轉軸的北極最傾向太陽的時候。那一天地球北極和太陽光方向的夾角是90°–ε。在冬至點的時候，是自轉軸的北極最偏離太陽的時候。那一天地球北極和太陽光方向的夾角是90° +ε。

　　黃赤交角的大小，即ε的數值，可否在地球上測量？怎麼量？

　　有日圭，就可以測量ε的大小。

　　由日圭可以很容易地測得正午太陽離開地平面的角度（仰角）。我們稱此角度為a 角。請參考圖1.12。在夏至時，量得a 角的數值為a1。在冬至時，量得a 角的數值為a2。有了這兩天的數值，ε的大小就可以用下面簡單的式子求出：

ε=（a1–a2）÷2

圖1.12 夏至和冬至時陽光與地平面的夾角關係

ME 是赤道面，MY 是黃道面，ε是黃赤交角，φ是緯度，OG 為日圭標竿，垂直於地平面，Oa 為OG 在地平面上的投影長度。∠a 即太陽的仰角。∠a = 90° –∠G= 90° –∠GMY。夏至時，∠a 之大小稱為a1。∠GMY =φ–ε，故a1 = 90° –φ+ε。

冬至時，∠a 之大小稱為a2。∠GMY = φ + ε，故a2 = 90° – φ – ε。因此得知

ε =（a1– a2）÷2，φ = 90° –（a1+ a2）÷2

　　由a1 和a2 的實際測量數值，得ε為23.44°。這也就確定了地球赤道面是以23.44°傾斜於黃道面的11。而66.56°（= 90°–ε）就是地球自轉軸和黃道面之間的夾角，也是北極圈所在的緯度。

B：從以上解釋濃縮簡化表達（ no proof)：

NB: 郭守敬跟Ulugh Beg  用 大型象限儀 quadrant 去直接測量大不同. 

Reference:

新元史

明史譯本 

日圭的實作

HKAS

漢程網

會圓術 

皇朝禮記圖式欽定象限儀 ：14

天文儀器志略